Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=2，點N為B₁C₁的中點，點P在棱A₁C₁的運動
（1）試問點P在何處時，AB∥平面PNC，并證明你的結(jié)論；
（2）在（1）的條件下，且AA₁＜AB，直線B₁C與平面BCP的成角的正弦值為

10

10

，求二面角A-BP-C的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）點P在A₁C₁中點位置時，AB∥平面PNC．利用三角形中位線定理和平行公理能推導(dǎo)出AB∥PN，由此能證明AB∥平面PNC．
（2）以B為原點，以BA為x軸，以BC為y軸，以BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法由已知條件能求出AA₁的長，由此利用向量法能求出二面角A-BP-C的大�。�

解答： 解：（1）點P在A₁C₁中點位置時，AB∥平面PNC．
證明如下：
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點N為B₁C₁的中點，點P在棱A₁C₁的運動，
∴點P在A₁C₁中點位置時，PN是△A₁B₁C₁的中位線，
∴PN∥A₁B₁，
∵AB∥A₁B₁，∴AB∥PN，
∵AB不包含于平面PNC，PN?平面PNC，
∴AB∥平面PNC．
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，
∴以B為原點，以BA為x軸，以BC為y軸，以BB₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=2，點N為B₁C₁的中點，點P為A₁C₁的中點，設(shè)AA₁=λ，
∴B（0，0，0），A₁（2，0，λ），C₁（0，2，λ），C（0，2，0），
B₁（0，0，λ），A（2，0，0），
∴P（1，1，λ），

BP

=（1，1，λ），

BC

=(0，2，0)，

CB1

=（0，-2，λ），

BA

=(2，0，0)，
設(shè)平面BPC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BP =x+y+λz=0 n • BC =2y=0

，∴

n

=(λ，0，-1)，
∵直線B₁C與平面BCP的成角的正弦值為

10

10

，
∴|cos＜

n

，

CB1

＞|=|

-λ

4+λ2 • 1+λ2

|=

10

10

解得λ=±1或λ=±2，
∵AA₁＜AB，∴λ=1，
∴AA₁=1，平面BPC的法向量

n

=（1，0，-1），

BP

=(1，1，1)．
設(shè)平面ABP的法向量

n2

=（x₁，y₁，z₁），
則

n2 • BA =2x1=0 n2 • BP =x1+y1+z1=0

，∴

n2

=(0，1，-1)，
設(shè)二面角A-BP-C的平面角為θ，
則cosθ=-|cos＜

n1

，

n2

＞|=-|

0+0+1

2 • 2

|=-

1

2

，
∴θ=120°．
∴二面角A-BP-C的大小為120°．

點評：本題考查直線與平面平行的判斷與證明，考查二面角大小的求法，解題時要注意向量法的合理運用．