Question

5．已知四面體ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=90°，$AB=\sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{3}$，其外接球體積為$\frac{32}{3}π$，則該四面體ABCD的棱AD=2．

Answer 1

分析 如圖，在△ABC中，由余弦定理得BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2ACABcos6{0}^{0}}=3$
故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜邊DC，取DC中點O，則有OD=OC=OA=OB，即有O為球心．由外接球體積為$\frac{32}{3}π$，得球半徑R=2，$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}\sqrt{D{A}^{2}+A{C}^{2}}=2$，解得AD=2．

解答 解：如圖，在△ABC中，由余弦定理得BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2ACABcos6{0}^{0}}=3$，
滿足AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC
∵∠BAD=∠CAD=90°，∴DA⊥面ABC
∴BC⊥面DAB，即BC⊥BD．
故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜邊DC，
取DC中點O，則有OD=OC=OA=OB，∴O為球心．
由外接球體積為$\frac{32}{3}π$，得球半徑R=2，
$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}\sqrt{D{A}^{2}+A{C}^{2}}=2$，解得AD=2


故答案為：2

點評 本題考查了三棱錐的外接球體積，考查了轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題．