若數(shù)列an=(2n-1)×2n,求其前n項和為Sn=1×2+3×22+…+(2n-1)×2n時,可對上式左、右的兩邊同乘以2,得到2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1,兩式相減并整理后,求得Sn=(2n-3)×2n+1+6.試類比此方法,求得bn=n2×2n的前n項和Tn=
(n2-2n+3)×2n+1-6
(n2-2n+3)×2n+1-6
分析:由已知可得題目中所示的方法為數(shù)列求和的錯位相減法,由此類比在求數(shù)列bn=n2×2n的前n項和Tn時,也可將各項同乘2,錯位相減后,再結(jié)合已知中的結(jié)論化簡得到答案.
解答:解:根據(jù)數(shù)列求和的錯位相減法:
當數(shù)列an=(2n-1)×2n,
Sn=1×2+3×22+…+(2n-1)×2n
左、右的兩邊同乘以2,得到2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1
兩式相減并整理后,求得Sn=(2n-3)×2n+1+6
類比此方法,當bn=n2×2n,
Tn=12×2+22×22+32×23+…+n2×2n…①
2Tn=0+12×22+22×23+32×24+…+(n-1)2×2n+n2×2n+1…②
①-②得-Tn=1×2+3×22+32×23+…+(2n-1)×2n-n2×2n+1
=(2n-3)×2n+1+6-n2×2n+1=-(n2-2n+3)×2n+1+6
∴Tn=(n2-2n+3)×2n+1-6
故答案為:(n2-2n+3)×2n+1-6
點評:本題考查的知識點是類比推理,其中正確理解并熟練掌握數(shù)列求和的錯位相減法,是解答的關鍵.
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