Question

設(shè)點(diǎn)M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點(diǎn)（1，0）的距離之比為2，并記點(diǎn)M的軌跡曲線為C，
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EOF=90°（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）設(shè)A（2，0），B（0，）是曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=mx（m＞0）與線段AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)P（x，y），
則有，
化簡得；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓的交點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
，
，
，
因?yàn)閘與橢圓交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)且∠EOF=90°得
，x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，，
解得（滿足）。
（Ⅲ）解方程組得
，
即，
S_{四邊形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOM=|BO|·x₁+|AO|·y₁

，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111212/201112121006332341071.gif">，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
即S_{四邊形AEBF}的最大面積為（當(dāng)時(shí)取得）。