Question

5．已知方程x³+ax²+bx+c=0（a，b，c∈R）．
（1）設(shè)a=b=4，方程有三個不同實(shí)根，求c的取值范圍；
（2）求證：a²-3b＞0是方程有三個不同實(shí)根的必要不充分條件．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=b=4時，方程x³+4x²+4x+c=0有三個不同實(shí)根，等價于函數(shù)f（x）=x³+4x²+4x+c=0有三個不同零點(diǎn)，由f（x）的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)$c∈（0，\frac{32}{27}）$時，函數(shù)f（x）=x³+4x²+4x+c有三個不同零點(diǎn)，可得結(jié)論；
（2）若函數(shù)f（x）有三個不同零點(diǎn)，則必有△=4a²-12b＞0，故a²-3b＞0是f（x）有三個不同零點(diǎn)的必要條件，再證明充分性即可．

解答 解：設(shè)f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）當(dāng)a=b=4時，方程x³+4x²+4x+c=0有三個不同實(shí)根，等價于函數(shù)f（x）=x³+4x²+4x+c=0有三個不同零點(diǎn)，f'（x）=3x³+8x+4，令f'（x）=0得x₁=-2或${x_2}=-\frac{2}{3}$，f（x）與f'（x）的區(qū)間（-∞，+∞）上情況如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f'（x）		c		c-$\frac{32}{27}$

所以，當(dāng)c＞0時且$c-\frac{32}{27}＜0$時，存在x₁∈（-4，-2），${x_2}∈（-2，-\frac{2}{3}）$，${x_3}∈（-\frac{2}{3}，0）$，
使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=0．
由f（x）的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)$c∈（0，\frac{32}{27}）$時，函數(shù)f（x）=x³+4x²+4x+c有三個不同零點(diǎn)．
即方程x³+4x²+4x+c=0有三個不同實(shí)根．
（2）當(dāng)△=4a²-12b＜0時，f'（x）=3x²+2ax+b＞0，x∈（-∞，+∞），
此時函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）不可能有三個不同零點(diǎn)．
當(dāng)△=4a²-12b＜0時，f'（x）=3x²+2ax+b只有一個零點(diǎn)，記作x₀，
當(dāng)x∈（-∞，x₀）時，f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以f（x）不可能有三個不同零點(diǎn)．
綜上所述，若函數(shù)f（x）有三個不同零點(diǎn)，則必有△=4a²-12b＞0．
故a²-3b＞0是f（x）有三個不同零點(diǎn)的必要條件．
當(dāng)a=b=4，c=0時，a²-3b＞0，f（x）=x³+4x²+4x=x（x+2）²只有兩個不同零點(diǎn)，
所以a²-3b＞0不是f（x）有三個不同零點(diǎn)的充分條件．
因此a²-3b＞0是f（x）有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．
即a²-3b＞0是方程x³+ax²+bx+c=0有三個不同實(shí)根的必要而不充分條件．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．