Question

5．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，且當(dāng)函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)取得最大值時(shí)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{4}，6-\sqrt{30}$）．（$\sqrt{2}≈$1.414，$\sqrt{30}$≈5.477）

Answer 1

分析 由已知函數(shù)的奇偶性及函數(shù)解析式作出函數(shù)y=f（x-1）的圖象，把函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，
∴y=f（x-1）的圖象如圖所示：
y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$表示過(guò)點(diǎn)（2，$\frac{1}{2}$），斜率為k的直線(xiàn)，
由圖可得，y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象最多有5個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）至多有5個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)k=$\frac{1}{4}$時(shí)，直線(xiàn)y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）有4個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)k=6-$\sqrt{30}$時(shí)，直線(xiàn)y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象拋物線(xiàn)部分相切，此時(shí)y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$
與y=f（x-1）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）有3個(gè)零點(diǎn)．
故當(dāng)函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)取得最大值時(shí)，k∈（$\frac{1}{4}，6-\sqrt{30}$）．
故答案為：（$\frac{1}{4}，6-\sqrt{30}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．