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如圖,BC是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F且垂直于對稱軸的一條弦,以BC為下底在左側截取一個等腰梯形ABCD(|AD|<|BC|),則所截等腰梯形面積的最大值為   
【答案】分析:設D點坐標為(x,y)(x>0),由點D在橢圓上知 (y≥0),得y2=4(1-x2),用x,y表示出等腰梯形ABCD的面積為 ,將y2=4(1-x2)代入得S2=(x+1)2•y2=(x+1)2•4(1-x2)=4(-x4-2x3+2x+1),利用導數求此函數的最值
解答:解:設D點坐標為(x,y)(x>0),由點D在橢圓上知 (y≥0),
得y2=4(1-x2
∴等腰梯形ABCD的面積為 (2分)
∴S2=(x+1)2•y2=(x+1)2•4(1-x2)=4(-x4-2x3+2x+1)
=-4x4-8x3+8x+4(0<x<1)
(S2)'=4(-4x3-6x2+2),
令(S2)'=0,
得2x3+3x2-1=0,即(x+1)2(2x-1)=0,
∵0<x<1,∴,(6分)
又當 時,(S2)'>0;當 時,(S2)'<0,
∴在區(qū)間(0,1)上,S2有唯一的極大值點 ,(8分)
∴當 時,S2有最大值為 ;
即當 時,S有最大值為 .       (10分)
因此只需分別作OC,OB的中垂線與上半橢圓交于D,A,這樣的等腰梯形的面積最大.(12分)
點評:本題考查拋物線的應用,解題的關鍵是根據拋物線的方程消元,將面積表示成x的函數,再利用導數研究此函數的最值,此題運算量很大,解題時極易因運算出錯,做題時要嚴謹認真.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,點A(4,2)為拋物線內一定點,點P為拋物線上一動點,|PA|+|PF|的最小值為8.
(1)求拋物線方程;
(2)若O為坐標原點,問是否存在點M,使過點M的動直線與拋物線交于B,C兩點,且以BC為直徑的圓恰過坐標原點,若存在,求出動點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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請考生在第22、23、24題中任選一題做答,如果多做,則按所

做的第一題記分.做答時,用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的[來源:學科網ZXXK]

題號涂黑.

22.選修4-1:幾何證明選講

如圖,BA是⊙O的直徑,AD是切線,BF、BD是割線,

求證:BE??BF=BC??BD

23.選修4-4:坐標系與參數方程

在拋物線y2=4a(x+a)(a>0),設有過原點O作一直線分別

交拋物線于A、B兩點,如圖所示,試求|OA|??|OB|的最小值。

24.選修4—5;不等式選講

設|a|<1,函數f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),證明:|f(x)|≤

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做的第一題記分.做答時,用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的

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如圖,BA是⊙O的直徑,AD是切線,BF、BD是割線,

求證:BE??BF=BC??BD

23.選修4-4:坐標系與參數方程

在拋物線y2=4a(x+a)(a>0),設有過原點作一直線分別

交拋物線于A、B兩點,如圖所示,試求|OA|??|OB|的最小值。

24.選修4—5;不等式選講

設|a|<1,函數f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),證明:|f(x)|≤[

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