Question

4．已知不等式x²+ax+1＞0，
（1）解此關(guān)于x的不等式；
（2）若此不等式對(duì)任意x＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值集合；
（3）若此不等式對(duì)任意a＜1恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）△=a²-4，分類(lèi)討論，解此關(guān)于x的不等式；
（2）分離參數(shù)，求最值，可得結(jié)論；
（3）若此不等式對(duì)任意a＜1恒成立，轉(zhuǎn)換參數(shù)，即可求實(shí)數(shù)x的取值集合．

解答 解：（1）△=a²-4，
①若a＞2或a＜2，△＞0，
令x²+ax+1=0，
解得：x=$\frac{-a±\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
故不等式x²+ax+1＞0的解集是：
{x|x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，或x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$}；
②若a=±2，則△=0，
故不等式x²+ax+1＞0的解集是：
{x|x≠±$\frac{a}{2}$}；
③若-2＜a＜2，則△＜0，
不等式的解集是R；
（2）由x²+ax+1＞0對(duì)任意x＞0恒成立得a＞-（x+$\frac{1}{x}$），∴a＞-2，即實(shí)數(shù)a的取值集合是{a|a＞-2}；
（3）f（a）=ax+1+x²，
∵此不等式x²+ax+1＞0對(duì)任意a＜1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{{x}^{2}+x+1＞0}\end{array}\right.$，∴x≤0，即實(shí)數(shù)x的取值集合是{x|x≤0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．