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【題目】設數列的前項和，

（1）求數列的通項公式；

（2）令，記數列前n項和為，求；

（3）利用第二問結果，設是整數，問是否存在正整數n，使等式成立？若存在，求出和相應的值；若不存在，說明理由．

【答案】（1）;（2）（3）當時，存在正整數，使等式成立，當時，不存在正整數使等式成立.

【解析】

（1）直接由與的關系求解；

（2）將（1）中求得的結果代入，化簡后利用裂項相消法求和；

（3）將表示為含n的等式，利用是整數，找出符合條件的n即可.

（1）令n＝1得，；當n時，，

所以

（2）當時，,此時 ，又

∴.

故，

當時，

.

（3）若，

則等式為，不是整數，不符合題意；

若，則等式為，

∵是整數, ∴必是的因數, ∵時

∴當且僅當時，是整數，從而是整數符合題意.

綜上可知，當時，存在正整數，使等式成立，

當時，不存在正整數使等式成立

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]

（Ⅰ）求圖中的值，并估計該班期中考試數學成績的眾數；

（Ⅱ）從成績不低于90分的學生和成績低于50分的學生中隨機選取2人，求這2人成績均不低于90分的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】黨的十九大報告指出,要推進綠色發(fā)展,倡導“簡約知適度、綠色低碳”的生活方式，開展創(chuàng)建“低碳生活,綠色出行”等行動.在這一號召下,越來越多的人秉承“能走不騎，能騎不坐,能坐不開”的出行理念，盡可能采取乘坐公交車騎自行車或步行等方式出行,減少交通擁堵,共建清潔、暢通高效的城市生活環(huán)境.某市環(huán)保機構隨機抽查統計了該市部分成年市民某月騎車次數,統計如下:

次數

人數

年齡

18歲至31歲

8

12

20

60

140

150

32歲至44歲

12

28

20

140

60

150

45歲至59歲

25

50

80

100

225

450

60歲及以上

25

10

10

19

4

2

聯合國世界衛(wèi)生組織于2013年確定新的年齡分段:44歲及以下為青年人,45歲至59歲為中年人,60歲及以上為老年人.

(I)若從被抽查的該月騎車次數在的老年人中隨機選出兩名幸運者給予獎勵，求其中一名幸運者該月騎車次數在之間,另一名幸運者該月騎車次數在之間的概率;

(Ⅱ)用樣本估計總體的思想，解決如下問題:

()估計該市在32歲至44歲年齡段的一個青年人每月騎車的平均次數;

(） 若月騎車次數不少于30次者稱為“騎行愛好者”，根據這些數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“騎行愛好者”與“青年人”有關?

參考數據:

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點．

(1)求證：EF⊥BC；

(2)求二面角E－BF－C的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關,現收集了7組觀測數據如下表：

溫度x/℃

21

23

25

27

29

32

35

產卵個數y/個

7

11

21

24

66

115

325

（I）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為產卵數關于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；

（II）根據（I）的判斷結果及表中數據，建立關于的回歸方程；

（Ⅲ）紅鈴蟲是棉區(qū)危害較重的害蟲，可從農業(yè)、物理和化學三個方面進行防治，其中農業(yè)方面防治有3種方法，物理方面防治有1種方法，化學方面防治3種方法，現從7種方法中選3種方法進行綜合防治（即3種方法不能全部來自同一方面，至少來自兩個方面），X表示在綜合防治中農業(yè)方面的防治方法的種數，求X的分布列及數學期望E(X)．

附：可能用到的公式及數據表中（表中 ， = ， = ， = ）

27.430

3.612

81.290

147.700

2763.764

705.592

40.180

對于一組數據,，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）時，求在上的單調區(qū)間；

（2）且， 均恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，，．設，分別為，中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）試問在線段上是否存在點，使得過三點，，的平面內的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某理財公司有兩種理財產品A和B，這兩種理財產品一年后盈虧的情況如下（每種理財產品的不同投資結果之間相互獨立）：

產品A

投資結果

獲利40%

不賠不賺

虧損20%

概率

產品B

投資結果

獲利20%

不賠不賺

虧損10%

概率

p

q

注：p＞0，q＞0

（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產品A和產品B投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實數p的取值范圍；

（2）若丙要將家中閑置的10萬元人民幣進行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據，則選用哪種產品投資較理想？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某農產品從5月1日起開始上市，通過市場調查，得到該農產品種植成本Q（單位：元/）與上市時間t（單位：天）的數據如下表：

t

50

110

250

Q

150

108

150

（1）根據上表數據，從下列函數中選取一個函數描述該農產品種植成本Q與上市時間t的變化關系，并求出函數關系式：，，，.

（2）利用你選取的函數，求該農產品種植成本最低時的上市時間及最低種植成本.

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