【題目】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分別為AC、DC的中點.

(1)求證:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.

【答案】
(1)證明:由題意,以B為坐標原點,在平面DBC內過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,

易得B(0,0,0),A(0,﹣1, ),D( ,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0, , ),F(xiàn)( ,0),所以 =( ,0,﹣ ), =(0,2,0),因此 =0,所以EF⊥BC.


(2)解:在圖中,設平面BFC的一個法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),又 =( ,0), =(0, ),

得其中一個 =(1,﹣ ,1),

設二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,由題意知θ為銳角,則

cosθ=|cos< , >|=| |=

因此sinθ= = ,即所求二面角正弦值為


【解析】(1)以B為坐標原點,在平面DBC內過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,得到E、F、B、C點的坐標,易求得此 =0,所以EF⊥BC;(2)設平面BFC的一個法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),依題意,可求得一個 =(1,﹣ ,1),設二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,可求得sinθ的值.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓關于直線對稱的圓為.

(1)求圓的方程;

(2)過點作直線與圓交于兩點, 是坐標原點,是否存在這樣的直線,使得在平行四邊形?若存在,求出所有滿足條件的直線的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= sin(2x+ ),給出下列四個命題:
①函數(shù)f(x)在區(qū)間[ , ]上是減函數(shù);
②直線x= 是f(x)的圖象的一條對稱軸;
③函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y= sin2x的圖象向左平移 而得到;
④函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心是( ,0).
其中正確的個數(shù)是(
A.1
B.2
C.3
D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知α,β∈( ,π),sin(α+β)=﹣ ,sin(β﹣ )= ,則cos(α+ )=(
A.
B.
C.﹣
D.﹣

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x﹣ cos2x
(1)求f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間;
(2)若將f(x)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍,縱坐標不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,當x∈[ ]時,求函數(shù)g(x)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱中, 是等腰直角三角形, ,側棱 分別為的中點,點在平面上的射影是的重心.

(1)求證: 平面;

2)求與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設{an}的前n項和為Sn,a1=1,S2·S3=36.

(1)求dSn;

(2)求mk(m,k∈N*)的值,使得amam+1am+2+…+amk=65.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中,曲線 為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為

(Ⅰ)分別求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;

(Ⅱ)設直線交曲線, 兩點,交曲線, 兩點,求的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產生09之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,23,4表示命中,5,6,7,8,9,0,表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù):

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________

查看答案和解析>>

同步練習冊答案