Question

20．已知數(shù)列{a_n}，點（1，a₁），（2，a₂）…（n，a_n）…均在同一條斜率大于零的直線上，滿足a₁=1，a₃=a${\;}_{2}^{2}$-4，則數(shù)列{a_n}的前n項和為n²．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為y=kx+b，k＞0，則a_n=kn+b，得到a_n-a_n-1=k，由等差數(shù)列的定義，得到數(shù)列{a_n}為遞增的等差數(shù)列，再根據(jù)a₁=1，a₃=a${\;}_{2}^{2}$-4，求出公差，根據(jù)數(shù)列的前n項和公式計算即可．

解答 解：設(shè)直線方程為y=kx+b，k＞0，則a_n=kn+b，
∴a_n-a_n-1=k，
由等差數(shù)列的定義，
∴數(shù)列{a_n}為遞增的等差數(shù)列，
由a₁=1，a₃=a${\;}_{2}^{2}$-4，得到1+2k=（1+k）²-4，
解得k=2，
∴a_n=2n-1，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
故答案為：n²

點評 本題考查了數(shù)列的函數(shù)特征和等差數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．