Question

求函數(shù)y=x²+2ax-3，x∈[0，2]的最值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=（x+a）²-a²-3，它的對稱軸方程為x=-a，再分①當a＞0時、②當-1＜a≤0時、③當-2＜a＜-1時、④當a≤-2時四種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最值．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=x²+2ax-3=（x+a）²-a²-3，它的對稱軸方程為x=-a，
①當-a＜0時，即a＞0，函數(shù)f（x）=x²+2ax-3在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
故函數(shù)的最小值為f（0）=-3，最大值為f（2）=1+4a．
②當 0≤-a＜1時，即-1＜a≤0，函數(shù)的最小值為f（-a）=-3-a²，最大值為f（2）=1+4a．
③當-2＜a＜-1時，函數(shù)的最小值為f（a）=-3-a²，最大值為f（0）=-3．
④當-a≥2時，即a≤-2，函數(shù)f（x）=x²+2ax-3在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，
故函數(shù)的最大值為f（0）=-3，最小值為f（2）=1+4a．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．