Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q（0＜q＜1），且a₂+a₅=

9

8

，a₃a₄=

1

8

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)該等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，正整數(shù)m，n滿足

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，求出所有符合條件的m，n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)聯(lián)立方程組求得首項和公比，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）求出等比數(shù)列的前n項和，代入

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，整理后轉(zhuǎn)化為2＜2ⁿ（4-m）＜6，結(jié)合2ⁿ為偶數(shù)，4-m為整數(shù)得到2ⁿ（4-m）=4．從而求得m，n的值．

解答： 解：（1）∵a₃a₄=a₂a₅，a₂+a₅=

9

8

，a₃a₄=

1

8

．
∴

a2+a5= 9 8 a2a5= 1 8

，解得

a2=1 a5= 1 8

或

a2= 1 8 a5=1

，
∴

a1=2 q= 1 2

或

a1= 1 16 q=2

（舍）．
∴an=2•(

1

2

)n-1；
（2）Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，得

4(1-( 1 2 )n)-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

1

2

，
整理得：2＜2ⁿ（4-m）＜6．
由于2ⁿ為偶數(shù)，4-m為整數(shù)，故只能是2ⁿ（4-m）=4．
∴

2n=2 4-m=2

或

2n=4 4-m=1

．
解得：m=2，n=1或m=3，n=2．

點評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法，考查了學(xué)生的靈活思維能力，是中檔題．