（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，且過點.

（I）求橢圓的標準方程；

（II）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，設(shè)，滿足.

（i）試證的值為定值，并求出此定值；

（ii）試求四邊形ABCD面積的最大值.

（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)為定值0；(ii)最大值為4．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法進行求解；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用得出定值；利用弦長公式求弦長，即三角形的底邊，再利用點到直線的距離公式求其高，進而得出面積，理基本不等式求其最值.

試題解析：（Ⅰ）由題意，，又， 2分

解得,

橢圓的標準方程為. 4分

（Ⅱ） (i) 直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0）時不滿足

設(shè)直線AB的方程為，設(shè)

聯(lián)立，得

(*)

6分

7分

8分

整理得

所以為定值0. 10分

(ii) 由(i),不妨取,則

設(shè)原點到直線AB的距離為d，則

11分

12分

當時(滿足(*)式)取等號.

.

即四邊形ABCD的面積的最大值為4.

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年山東省青島市高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

下列命題：

①是方程表示圓的充要條件；

②把的圖象向右平移單位，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606052622142745/SYS201506260605274402557187_ST/SYS201506260605274402557187_ST.005.png">，得到函數(shù)的圖象；

③函數(shù)上為增函數(shù)；

④橢圓的焦距為2，則實數(shù)m的值等于5.

其中正確命題的序號為

A.①③④ B.②③④ C.②④ D.②

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年江蘇省無錫市高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

根據(jù)如圖所示的流程圖，則輸出的結(jié)果為

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年河南省信陽市畢業(yè)班第二次調(diào)研檢測文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知雙曲線，過其右焦點作圓的兩條切線，切點記作，,雙曲線的右頂點為,，則其雙曲線的離心率為（ ）

(A) (B) (C) (D)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年河南省信陽市畢業(yè)班第二次調(diào)研檢測文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知，則的大小關(guān)系是（ ）

(A). (B) (C) (D)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年山東省濟南市高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知命題：

①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都變?yōu)樵瓉淼?倍，則方差也變?yōu)樵瓉淼?倍；

②命題“”的否定是“”；

③在中，若；

④在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得的概率是；

⑤若對于任意的恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

以上命題中正確的是__________（填寫所有正確命題的序號）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年山東省濟南市高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

點A是拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點，若點A到拋物線的準線的距離為p，則雙曲線的離心率等于

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年江西省南昌市高三上學期第四次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

若直線與曲線恰有一個公共點,則的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年江蘇省宿遷市高三下學期期初開學聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

設(shè)實數(shù)a，x，y，滿足則xy的取值范圍是 ．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案