Question

5．已知點(diǎn)P（-1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（其中α∈[0，2π）），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C₁，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)Q在曲線C₂：ρ=$\frac{1}{{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}}$上．
（1）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)ρ≥0，0≤θ＜2π時，求曲線C₁與曲線C₂的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)P（-1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（其中α∈[0，2π）），點(diǎn)P的軌跡曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，利用cos²α+sin²α=1即可化為直角坐標(biāo)方程．再利用互化公式即可化為極坐標(biāo)方程．點(diǎn)Q的曲線C₂：ρ=$\frac{1}{{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}}$，化為$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=1，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立解得直角坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)即可得出．

解答 解：（1）點(diǎn)P（-1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（其中α∈[0，2π）），點(diǎn)P的軌跡曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，化為直角坐標(biāo)方程：（x+1）²+y²=2．
展開為x²+y²+2x-1=0，化為極坐標(biāo)方程：ρ²+2ρcosθ-1=0．
點(diǎn)Q的曲線C₂：ρ=$\frac{1}{{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}}$，化為$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=1，化為直角坐標(biāo)方程：x-y-1=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-1=0}\end{array}\right.$，化為：x=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，可得交點(diǎn)（0，-1），化為極坐標(biāo)（1，$\frac{3π}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、和差公式、曲線交點(diǎn)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．