Question

15．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，若a₁=1，a₃=4．
（1）若S_k=63，求k的值；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)c_n=（-1）ⁿb_n，求T=|c₁|+|c₂|+|c₃|+…+|c_n|．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）a_n=2^n-1，b_n=log₂a_n=n-1，作差即可證明．
（3）c_n=（-1）ⁿb_n=（-1）ⁿ（n-1），|c_n|=n-1．再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知a₁=1，a₃=4，得q²=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=4．
又{a_n}的各項均為正數(shù)，∴q=2．-------------------------------------------（2分）
而S_k=$\frac{1-{2}^{k}}{1-2}$=63，∴2^k-1=63，解得k=6．-------------------------（4分）
（2）證明：a_n=2^n-1，---------------------------------------------（5分）
b_n=log₂a_n=n-1，-----（6分）
b_n-b_n-1=n-1-（n-1）+1=1．------------------------------（8分）
故數(shù)列{b_n}是公差為1，首項為0的等差數(shù)列．-------------------（9分）
（3）c_n=（-1）ⁿb_n=（-1）ⁿ（n-1）．------------------------（11分）
|c_n|=n-1．
∴T=|c₁|+|c₂|+|c₃|+…+|c_n|=0+1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$．…（14分）

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．