Question

若方程ax²-2x+3=0在（0，2）內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

{a|a＜

1

4

}

．

Answer 1

分析：令f（x）=ax²-2x+3，則有題意可得函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，分a=0和a≠0兩種情況分別求出a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：令f（x）=ax²-2x+3，則有題意可得函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)．
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+3 有唯一的零點(diǎn)x=

3

2

，滿足條件．
②當(dāng)a≠0時(shí)，由二次函數(shù)f（x）=ax²-2x+3在（0，2）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，
（1）若判別式大于零時(shí)，由

△ = 4-12a＞0 f(0)•f(2) = 3(4a-1)＜ 0

，解得a＜

1

4

．
（2）若判別式等于零時(shí)，應(yīng)有

△ = 4-12a=0 f(0)•f(2) = 3(4a-1)＞0

，解得 a=

1

3

．
但把 a=

1

3

代入原方程求得方程有唯一解為x=3，不在（0，2）內(nèi)，故a=

1

3

不滿足條件．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＜

1

4

}．
故答案為 {a|a＜

1

4

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．