Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$
（1）試證明f（x）在（-∞，1）上為單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）若函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^f（x），且g（x）在區(qū)間[-3，-2]上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）求出g（x）的值域，得到關(guān)于m的不等式，求出m的范圍即可．

解答 解（1）設(shè)x₂＜x₁＜-1，則x₁-x₂＞0，1+x₁＜0，1+x₂＜0，
$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（1+{x_1}）（1+{x_2}）}}＞0$，即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（-∞，-1）上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）因f（x）是（-∞，-1）上的單調(diào)遞減函數(shù)
所以g（x）=${（\frac{1}{2}）}^{f（x）}$-m在區(qū)間[-3，-2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，g（x）=${（\frac{1}{2}）}^{f（x）}$-m的值域是：[g（-3），g（-2）]，
即[4-m，8-m]，
由g（x）在區(qū)間[-3，-2]上沒有零點(diǎn)得：
 4-m＞0或8-m＜0，
所以m＜4或  m＞8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、值域問題，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．