Question

4．已知圓C：x²+（y-2）²=4，直線l₁：y=x，l₂：y=kx-1，若l₁，l₂被圓C所截得的弦的長度之比為$\sqrt{2}：1$，則k的值為$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出圓C：x²+（y-2）²=4的圓心C（0，2），半徑r=2，再求出圓心到直線的距離，從而得到直線被圓C所截得的弦的長度，由此能求出k的值．

解答 解：∵圓C：x²+（y-2）²=4的圓心C（0，2），半徑r=2，
圓心C（0，2）到直線l₁：y=x的距離d₁=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
l₁被圓C所截得的弦的長度l₁=2$\sqrt{{r}^{2}-{z33ebyh_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$，
圓心C（0，2）到直線l₂：y=kx-1的距離d₂=$\frac{|0-2-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
l₂被圓C所截得的弦的長度l₂=2$\sqrt{{r}^{2}-{xmk7st7_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{{k}^{2}+1}}$，
∵l₁，l₂被圓C所截得的弦的長度之比為$\sqrt{2}：1$，
∴$2\sqrt{2}$：2$\sqrt{4-\frac{9}{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}：1$，
∴$\sqrt{4-\frac{9}{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$±\sqrt{2}$．
故答案為：$±\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)和點到直線的距離公式的合理運用．