Question

20．己知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=12$\sqrt{3}$，則b=6．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的定義，可以設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，在△PF₁F₂中，根據(jù)余弦定理，結(jié)合${S}_{{{△F}_{1}PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$mn•sin60°，列出方程即可求出b的值．

解答 解：根據(jù)橢圓的定義，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則
在△PF₁F₂中，根據(jù)余弦定理得，
cos60°=$\frac{{m}^{2}{+n}^{2}-{4c}^{2}}{2mn}$=$\frac{{（m+n）}^{2}-{4c}^{2}-2mn}{2mn}$
即$\frac{1}{2}$=$\frac{{4a}^{2}-{4c}^{2}-2mn}{2mn}$，
所以3mn=4a²-4c²=4b²；
又${S}_{△{{PF}_{1}F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$mn•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$mn=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{4}{3}$b²
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²=12$\sqrt{3}$，
解得b²=36，
所以b=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了橢圓的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．