已知函數(shù)f（x）=
1+lnx
x
．
（1）設(shè)a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+
1
2
）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）如果當(dāng)x≥1時，不等式f（x）≥
k2-k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（1）因?yàn)?span >f(x)=
1+lnx
x
，則f′(x)=-
lnx
x2
(x＞0)，
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
所以f（x）在x=1處取得極大值．
因?yàn)閒（x）在區(qū)間(a，a+
1
2
)（其中a＞0）上存在極值，
所以
a＜1
a+
1
2
＞1
，解得
1
2
＜a＜1．
（2）不等式f(x)≥
k2-k
x+1
，即
(x+1)(1+lnx)
x
≥k2-k．
設(shè)g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x
，則g′(x)=
x2-lnx
x2
．
令h（x）=x2-lnx，則h′(x)=1-
1
x
．
因?yàn)閤≥1，所以h'（x）≥0，則h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h（x）得最小值為h（1）=1＞0，從而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）得最小值為g（1）=2，
所以k2-k≤2，解得-1≤k≤2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若
lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
=1，則f′（x0）等于（　�。�
A．2B．-2C．
1
2
D．-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

己知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+c，其導(dǎo)數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的極大值是（　�。�
A．a(chǎn)+b+cB．8a+4b+cC．3a+2bD．c

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx
（I）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求f（x）在[1，e]上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x+1
（1）求函數(shù)在區(qū)間[-4，4]上的單調(diào)性．
（2）求函數(shù)在區(qū)間[-4，4]上的極大值和極小值與最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在x=2處取得極值為c=16．
（1）求a、b的值；
（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=exsinx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若a=2，求f（x）在閉區(qū)間[0，4]上的最小值．

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同步練習(xí)冊答案