已知橢圓，、是其左、右焦點(diǎn)，橢圓上的任一點(diǎn)，△的重心為，內(nèi)心為，且有．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若△面積的最大值是，求橢圓的方程．

解：設(shè)P，
∵G為的重心，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為 G，
∵，
∴，      
∴的縱坐標(biāo)為，
在焦點(diǎn)中，
∴
又∵為的內(nèi)心，
∴的縱坐標(biāo)即為內(nèi)切圓半徑，
內(nèi)心把分為三個底分別為的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形
∴
∴2c=a，        
∴橢圓C的離心率e=
（2）設(shè)過橢圓焦點(diǎn)的直線的方程為
∴
 ，
得
設(shè)點(diǎn)M，N坐標(biāo)為，

m2+1≥1

。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且
PF1
•
PF2
=0，|OP|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)S(0，-
1
3
)且斜率為k的動直線l交
橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，點(diǎn)A、F分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)．
（1）若P（-1，
3
），PA是⊙O的切線，求橢圓C的方程；
（2）若
PA
PF
是一個常數(shù)，求橢圓C的離心率；
（3）當(dāng)b=1時，過原點(diǎn)且斜率為k的直線交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，其中點(diǎn)D在第一象限，它在x軸上的射影為點(diǎn)G，直線EG交橢圓C于另一點(diǎn)H，是否存實(shí)數(shù)a，使得對任意的k＞0，都有DE⊥DH？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•聊城一模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=
7
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)S(0，-
1
3
)且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)和△MAB面積的最大值；若不存在，說明理由．

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