Question

18．已知函數(shù)$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}），f（0）=-f（{\frac{π}{2}}）$，若將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則φ=（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由題意求得ω=4k+2，k∈Z，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得$\frac{ωπ}{12}$+φ=mπ，m∈Z，結(jié)合φ的范圍，可得φ的值．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}），f（0）=-f（{\frac{π}{2}}）$，
∴sinφ=-sin（ω•$\frac{π}{2}$+φ），∴ω•$\frac{π}{2}$=2kπ+π或者φ+ω•$\frac{π}{2}$=2kπ-φ．
①如果：ω•$\frac{π}{2}$=2kπ+π，將f（x）=sin（ωx+φ）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位后所得函數(shù)的解析式為y=sin（ωx+$\frac{ωπ}{12}$+φ）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴$\frac{ωπ}{12}$+φ=mπ，m∈Z，∵φ∈（0，$\frac{π}{2}$）∴k=2，ω=10，此時(shí)，φ=$\frac{π}{6}$，
②如果：φ+ω•$\frac{π}{2}$=2kπ-φ，又f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
有：φ+ω•$\frac{π}{12}$=kπ，
即有：φ=k₁π-$\frac{π}{4}$且φ=k₂π-$\frac{π}{12}$，其中k₁、k₂∈Z，
不存在這樣的k₁、k₂滿足題意，舍去．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．