Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=8，S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-n-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由a₂=8，S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-n-1．可得n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n．
（II）$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵a₂=8，S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-n-1．
可得a₁=S₁=$\frac{{a}_{2}}{2}$-2=2，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-n-1-$（\frac{{a}_{n}}{2}-n）$，化為：a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，第二項為9，公比為3．
∴a_n+1=9×3^n-2=3ⁿ．對n=1也成立．
∴a_n=3ⁿ-1．
（II）$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．
∴數(shù)列{$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．