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15.對數(shù)列{an}前n項和為Sn,an>0(n=1,2,…),a1=a2=1,且對n≥2有(a1+a2+…+an)an=(a1+a2+…+an-1)an+1,則S1S2+S2S3+S3S4+…+Sn-1Sn=22n123

分析 由題意可得Sn=anan+1an+1an,再根據(jù)遞推公式得到an2=an+1an-1,繼而得到an={1n=12n1n2,再求出前n項和,再根據(jù)求和公式求出答案.

解答 解:∵(a1+a2+…+an)an=(a1+a2+…+an-1)an+1=(a1+a2+…+an-1+an-an)an+1=(a1+a2+…+an-1+an)an+1-anan+1,
∴anan+1=(a1+a2+…+an)(an+1-an),
當n=2時,a2a3=(a1+a2)(a3-a2),
∴a3=2,
∴Sn=anan+1an+1an,
∴Sn-1=anan1anan1,n≥3,
∴an=Sn-Sn-1=anan+1an+1an-anan1anan1
整理得an2=an+1an-1,
∴數(shù)列{an}從第3項開始為等比數(shù)列,
當n=3時,a32=a4a2,∴a4=4,
∴q=42=2,
∴an={1n=12n1n2
當n≥2時,Sn=1+112n112=2n-1
∴Sn={1n=12n1n2
當n≥2時,Sn•Sn-1=2n-12n-2=22n-3,
∴S1S2+S2S3+S3S4+…+Sn-1Sn=21+23-+25+…+22n-3=2122n314=22n123
故答案為:22n123

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,考查了分析問題解決問題的,以及運算能力,屬于難題.

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