Question

數列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函數fn（x）=x³-（3a_n+n²）x²+3n²a_nx極小值點．當a=0時，求通項a_n．

Answer 1

解：由題意可知，當a=0時，a₁=0，則3a₁＜1²．
由題設知f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．
令f′_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
若3a_n＜n²，則
當x＜3a_n時，f′_n（x）＞0，f_n（x）單調遞增；
當3a_n＜x＜n²時，f′_n（x）＜0，f_n（x）單調遞減；
當x＞n²時，f′_n（x）＞0，f_n（x）單調遞增．
故f_n（x）在x=n²取得極小值．
所以a₂=1²=1
因為3a₂=3＜2²，則，a₃=2²=4
因為3a₃=12＞3³，則a₄=3a₃=3×4，
又因為3a₄=36＞4²，則a₅=3a₄=3²×4，
由此猜測：當n≥3時，a_n=4×3^n-3．
下面先用數學歸納法證明：當n≥3時，3a_n＞n²．
事實上，當n=3時，由前面的討論知結論成立．
假設當n=k（k≥3）時，3a_k＞k²成立，則由（2）知，a_k+1=3a_k＞k²，
從而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0，
所以3a_k+1＞（k+1）²．
故當n≥3時，3a_n＞n²成立．
于是，當n≥3時，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3．
綜上所述，當a=0時，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（n≥3）．
分析：通過a=0，推出a₁=0，則3a₁＜1²．由f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）=0，求出x₁=3a_n，x₂=n²．由函數的單調性知f_n（x）在x=n²取得極小值．求出a₂=1，a₃=4，a₄=3×4，考查規(guī)律，由此猜測：當n≥3時，a_n=4×3^n-3．然后用數學歸納法證明：當n≥3時，3a_n＞n²．
點評：本題是中檔題，考查數列的求法，注意到函數的導數與極小值的關系，注意數列的規(guī)律，數學歸納法的應用，考查計算能力，轉化思想．