Question

已知海岸上的兩座燈塔A，B，一艘近海航行的貨輪沿CD的航向航行，航行速度

3

千米每小時(shí)．某時(shí)刻貨輪在C點(diǎn)測得燈塔A與航向CD成∠ACD=120°，燈塔B與航向CD成∠BCD=45°；1小時(shí)后貨輪在D測得燈塔A與航向CD成∠ADC=30°，燈塔B與航向CD成∠BDC=75°，求兩燈塔A，B間的距離．

Answer 1

分析：在△ACD中，利用正弦定理算出AD=3千米，同理△BCD中算出BD=

2

千米．最后在△ABD中，由余弦定理算出AB的長，即可算出兩燈塔A，B間的距離是

5

千米．

解答：解：在△ACD中，∠CAD=30°
由正弦定理

CD

sin∠CAD

=

AD

sin∠ACD

，得

3

sin30°

=

AD

sin120°

，可得AD=3千米--------（4分）
在△BCD中，∠CBD=60°
由正弦定理

CD

sin∠CBD

=

BD

sin∠BCD

，得

3

sin60°

=

BD

sin45°

，所以BD=

2

千米--------（8分）
在△ABD中，∠ADB=45°，由余弦定理得
AB²=AD²+BD²-2AD•BD•cos45°=9+2-2×3×

2

×

2

2

=5
∴AB=

5

（千米）--------（12分）
答：兩燈塔A，B間的距離是

5

千米．--------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際問題，求兩燈塔A，B間的距離．著重考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形和解三角形知識(shí)在航海中的應(yīng)用，屬于中檔題．