Question

19．春節(jié)期間商場為活躍節(jié)日氣氛，特舉行“購物有獎(jiǎng)”抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為$\frac{2}{3}$，每次中獎(jiǎng)可以獲得20元購物代金券，方案乙的中獎(jiǎng)率為$\frac{2}{5}$，每次中獎(jiǎng)可以獲得30元購物代金券，未中獎(jiǎng)則不獲得購物代金券，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，已知小明通過購物獲得了2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．
（1）若小明選擇方案甲、乙各抽獎(jiǎng)一次，記他累計(jì)獲得的購物代金券面額之和為X，求X≤30的概率；
（2）設(shè)小明兩次抽獎(jiǎng)都選擇方案甲或都選擇方案乙，且都選擇方案乙時(shí)，已算得，累計(jì)獲得的購物代金券面額之和X₁的數(shù)學(xué)期望E（X₁）=24，問：小明選擇這兩種方案中的何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)獲得的購物代金券面額之和的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

分析 （1）記“小明累計(jì)得分X≤30”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=50”，由P（X=50）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}$，可得P（A）=1-P（X=50）．
（2）設(shè)小明兩次都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₂，小明兩次都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₁，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（20X₂），都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（30X₁）．由已知可得，X₂～B（2，$\frac{2}{3}$），X₁～B（2，$\frac{2}{5}$），即可得出．

解答 解：（1）由題意知，甲方案中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{3}$，乙方案中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{5}$，且兩次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，
記“小明累計(jì)得分X≤30”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=50”，
因?yàn)镻（X=50）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{15}$，∴P（A）=1-P（X=50）=$\frac{11}{15}$．
即他的累計(jì)得分x≤30的概率為$\frac{11}{15}$．
（2）設(shè)小明兩次都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₂，小明兩次都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₁，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（20X₂），都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（30X₁）．
由已知可得，X₂～B（2，$\frac{2}{3}$），X₁～B（2，$\frac{2}{5}$），
∴E（X₂）=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，E（X₁）=2×$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{5}$，
從而E（20X₂）=20E（X₂）=$\frac{80}{3}$，E（30X₁）=30E（X₁）=$\frac{120}{5}$=24，
由于E（20X₂）＞E（30X₁），
∴他們選擇甲方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．