Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+1的對稱中心的橫坐標為x₀（x₀＞0）且f（x）有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，-$\frac{3\root{3}{2}}{2}$）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的極值，令極小值小于零即可求出a的范圍．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax，令f′（x）=0得x=0或x=-$\frac{2a}{3}$，
∴x₀=-$\frac{a}{3}$＞0，∴a＜0．
∴當x＜0或x＞-$\frac{2a}{3}$時，f′（x）＞0，當0＜x＜-$\frac{2a}{3}$時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，-$\frac{2a}{3}$）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4{a}^{3}}{27}+1$．
∵f（x）有三個零點，
∴$\frac{4{a}^{3}}{27}+1$＜0．解得a＜-$\frac{3\root{3}{2}}{2}$．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)零點的個數(shù)判斷，屬于中檔題．