Question

11．已知（2x²+x-y）ⁿ的展開式中各項系數(shù)的和為32，則展開式中x⁵y²的系數(shù)為120．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 根據(jù)（2x²+x-y）ⁿ的展開式中各項系數(shù)的和為32，即2ⁿ=32，求出n=5，將（2x²+x-y）⁵=[（x²+x）-y]⁵，利用通項公式，求出x⁵y²的項，可得其系數(shù)．

解答 解：由題意，（2x²+x-y）ⁿ的展開式中各項系數(shù)的和為32，即2ⁿ=32，
∴n=5，
那么（2x²+x-y）⁵=[（2x²+x）-y]⁵，
通項公式T_r+1=${C}_{5}^{r}（-y）^{r}（2{x}^{2}+x）^{5-r}$，
展開式中含有x⁵y²，可知r=2．
那么（2x²+x）³中展開必然有x⁵，
由通項公式，可得${C}_{3}^{t}（2{x}^{2}）^{3-t}{x}^{t}$
含有x⁵的項：則t=1，
∴展開式中x⁵y²的系數(shù)為${{C}_{5}^{2}C}_{3}^{1}{2}^{2}$=120．
故答案為120．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，把三項改為二項，利用通項公式展開式中含有x⁵y²，求出滿足要求次數(shù)，是解題的關鍵．