Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，若雙曲線右支上存在兩點(diǎn)B，C使得△ABC為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)其中一條漸近線與x軸的夾角為θ，由已知條件得tanθ＜1，漸近線的方程為y=$\frac{a}$x，從而$\frac{a}$＜1由此能求出該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：如圖，由△ABC為等腰直角三角形，所以∠BAx=45°，
設(shè)其中一條漸近線與x軸的夾角為θ，則θ＜45°，即tanθ＜1，
又上述漸近線的方程為y=$\frac{a}$x，
則$\frac{a}$＜1，又e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴1＜e＜$\sqrt{2}$，
雙曲線的離心率e的取值范圍（1，$\sqrt{2}$），
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．