Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

4an-1

2an-1+1

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明不等式：a₁+a₂+a₃+…+a_n＞

3n-16

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

4an-1

2an-1+1

（n≥2）．取倒數(shù)可得：

1

an

=

1

2

+

1

4an-1

，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項公式即可得出證明：
（2）由于a_n=

3

2

(1-

2

2+4n

)＞

3

2

(1-

1

22n-1

)，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）解：由數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

4an-1

2an-1+1

（n≥2）．
取倒數(shù)可得：

1

an

=

1

2

+

1

4an-1

，
化為

1

an

-

2

3

=

1

4

(

1

an-1

-

2

3

)，
∴數(shù)列{

1

an-1

-

2

3

}是等比數(shù)列，首項為1-

2

3

=

1

3

．
∴

1

an

-

2

3

=

1

3

×(

1

4

)n-1．
∴a_n=

3×4n

4+2×4n

．
（2）證明：∵a_n=

3

2

(1-

2

2+4n

)＞

3

2

(1-

1

22n-1

)，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＞

3

2

[n-

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

]＞

3

2

(n-

2

3

)=

3

2

n-1＞

3n-16

2

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出，考查了通過放縮證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．