【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為3.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值(為坐標(biāo)原點(diǎn)).

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為3可求，然后利用離心率可求，結(jié)合的關(guān)系可得橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求，結(jié)合三角形面積公式及基本不等式可求的面積的最大值.

（1）因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為3，

所以，解得或（舍）.

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，

所以，所以.

故橢圓的方程為.

（2）由題意可知直線的斜率不為0，

則可設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立，整理得，

則，，

從而.

故的面積.

設(shè)，則，故，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F，斜率為1的直線與拋物線C交于點(diǎn)A，B，且．

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點(diǎn)Q（1，1）作直線交拋物線C于不同于R（1，2）的兩點(diǎn)D、E，若直線DR，ER分別交直線于M，N兩點(diǎn)，求|MN|取最小值時(shí)直線DE的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求證:當(dāng)時(shí),對任意恒成立;

(2)求函數(shù)的極值;

(3)當(dāng)時(shí),若存在且,滿足,求證:.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，為等邊三角形，G是線段SB上的一點(diǎn)，且SD//平面GAC.

（1）求證：G為SB的中點(diǎn)；

（2）若F為SC的中點(diǎn)，連接GA，GC，FA，FG，平面SAB⊥平面ABCD，，求三棱錐F-AGC的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）已知與平面所成的角為30°，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若實(shí)數(shù)滿足，①的最大值為________；②若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線C于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值；

（Ⅱ）過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為E，過點(diǎn)B作EF的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)D，求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】小王于2015年底貸款購置了一套房子，根據(jù)家庭收入情況，小王選擇了10年期每月還款數(shù)額相同的還貸方式，且截止2019年底，他沒有再購買第二套房子.下圖是2016年和2019年小王的家庭收入用于各項(xiàng)支出的比例分配圖，根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的是（ ）

A.小王一家2019年用于飲食的支出費(fèi)用跟2016年相同

B.小王一家2019年用于其他方面的支出費(fèi)用是2016年的3倍

C.小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍

D.小王一家2019年用于房貸的支出費(fèi)用比2016年減少了

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓：上一點(diǎn)，以點(diǎn)及橢圓的左、右焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過作斜率存在且互相垂直的直線，，是與兩交點(diǎn)的中點(diǎn)，是與兩交點(diǎn)的中點(diǎn)，求△面積的最大值．

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