如圖,棱長為1的正四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、CD的中點,O是點A在平面BCD內(nèi)的身影。

(Ⅰ)求直線EF與直線BC所成角的大�。�

(Ⅱ)求點O到平面ACD的距離;

(Ⅲ)求二面角C―BF―E的大小。

方法一:(Ⅰ)因為E、F分別是棱AD、CD的中點,

所以EF∥AC所以∠BCA是EF與BC所成角。

因為正四面體ABC為正三角形,所以∠BCA = 60°

即EF與BC所成角的大小是60°

(Ⅱ)解法1:

   

如圖,連結(jié)AO,AF,因為F是CD的中點,

且△ACD,△BCD均為正三角形,所以BF⊥CD,AF⊥CD

因為BF∩AF = F,             所以CD⊥面AFB。

因為CD面ACD    所以面AFB⊥面ACD。

因為ABCD是正四面體,且O是點A在面BCD內(nèi)的射影,

所以點O必在正三角形BCD的中線BF上。

在面ABF中,過O作OG⊥AF,垂足為G,所以O(shè)G⊥面ACD。

即OG的長為點O到面ACD的距離。

因為正四面體ABCD的棱長為1,

在△ABF中,容易求出AF= BF =,OF =,AO =,

因為△AOF∽△OGF,故由相似比易求出OG =。

所以點O到平面ACD的距離是

解法2 :

如圖,連結(jié)AO,CO,DO,   

所以點O到平面ACD的距離就是三棱錐O―ACD底面ACD上的高h,

與解法1同理容易求出OF=,AO=

所以VACOD =???1)=。

因為VOCOD = VACOD                

所以= VOACD = ? h ? (??1)   解得h =

(Ⅲ)(文科)

連結(jié)OD,設(shè)OD的中點為K,連結(jié)EK,則EK∥AO。

因為AO⊥面BCD。所以EK⊥BCD。

在面BCD內(nèi),過點K作KN∥CD,KN交BF于M,交AB于N,

因為BE⊥CD,所以KN⊥BF,

連結(jié)EM,所以EM⊥BF。所以∠NME是所求二面角的平面角。

因為EK=AO =?=,MK =FD =CD =,                   

所以tan∠EMK =。

所以tan∠NME = tan (∠EMK ) =。

所以所求二面角的大小為 arctan  

方法二:

如圖,以點A在面BCD的射影O為坐標(biāo)原點,有向直線OA為z軸,有向直線BF為y軸,x軸為過點O與DC平行的有向直線。

因為正四面體ABCD的棱長為1,所以可以求出各點的坐標(biāo)依次為:

O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 0 , 0 , ) , B ( 0 , , 0 )

C (,, 0 ) , D (,, 0 )

E ( ,,) , F ( 0 , , 0)

(Ⅰ)因為= (,),= (,,0 )

?=×+××0 =,且|| ==|| = 1

所以cos

所以EF與BC所成角的大小是60°

(Ⅱ)因為= (,,) , = (,,),

設(shè)平面ACD的一個法向量為= ( x1 , y1 , z1 )

? = 0, ? = 0,解得 = ( 0 , 2 ,).

因為,? =,| | =,

所以點O到平面ACD的距離等于d =

(Ⅲ)因為= (, ) , (0,,0),

設(shè)平面BEF的一個法向量為FBEF = ( x2 , y2 , z2 )

可得BEF的一個法向量FBEF =

容易得到平面BCF的一個法向量FBCF =(0,0,1)

因為FBEF?FBCF = 3 ,  |FBEF| =, |FBCF| = 1

所以cos=.

所以二面角C―BF―E的大小為arccos=arccos

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