如圖,棱長為1的正四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、CD的中點,O是點A在平面BCD內(nèi)的身影。
(Ⅰ)求直線EF與直線BC所成角的大�。�
(Ⅱ)求點O到平面ACD的距離;
(Ⅲ)求二面角C―BF―E的大小。
方法一:(Ⅰ)因為E、F分別是棱AD、CD的中點,
所以EF∥AC所以∠BCA是EF與BC所成角。
因為正四面體ABC為正三角形,所以∠BCA = 60°
即EF與BC所成角的大小是60°
(Ⅱ)解法1:
如圖,連結(jié)AO,AF,因為F是CD的中點,
且△ACD,△BCD均為正三角形,所以BF⊥CD,AF⊥CD
因為BF∩AF = F, 所以CD⊥面AFB。
因為CD面ACD 所以面AFB⊥面ACD。
因為ABCD是正四面體,且O是點A在面BCD內(nèi)的射影,
所以點O必在正三角形BCD的中線BF上。
在面ABF中,過O作OG⊥AF,垂足為G,所以O(shè)G⊥面ACD。
即OG的長為點O到面ACD的距離。
因為正四面體ABCD的棱長為1,
在△ABF中,容易求出AF= BF =,OF =,AO =,
因為△AOF∽△OGF,故由相似比易求出OG =。
所以點O到平面ACD的距離是
解法2 :
如圖,連結(jié)AO,CO,DO,
所以點O到平面ACD的距離就是三棱錐O―ACD底面ACD上的高h,
與解法1同理容易求出OF=,AO=
所以VACOD =?(??1)=。
因為VOCOD = VACOD
所以= VOACD = ? h ? (??1) 解得h =
(Ⅲ)(文科)
連結(jié)OD,設(shè)OD的中點為K,連結(jié)EK,則EK∥AO。
因為AO⊥面BCD。所以EK⊥BCD。
在面BCD內(nèi),過點K作KN∥CD,KN交BF于M,交AB于N,
因為BE⊥CD,所以KN⊥BF,
連結(jié)EM,所以EM⊥BF。所以∠NME是所求二面角的平面角。
因為EK=AO =?=,MK =FD =CD =,
所以tan∠EMK =。
所以tan∠NME = tan (∠EMK ) =。
所以所求二面角的大小為 arctan
方法二:
如圖,以點A在面BCD的射影O為坐標(biāo)原點,有向直線OA為z軸,有向直線BF為y軸,x軸為過點O與DC平行的有向直線。
因為正四面體ABCD的棱長為1,所以可以求出各點的坐標(biāo)依次為:
O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 0 , 0 , ) , B ( 0 , , 0 )
C (,, 0 ) , D (,, 0 )
E ( ,,) , F ( 0 , , 0)
(Ⅰ)因為= (,),= (,,0 )
又?=×+××0 =,且|| ==|| = 1
所以cos
所以EF與BC所成角的大小是60°
(Ⅱ)因為= (,,) , = (,,),
設(shè)平面ACD的一個法向量為= ( x1 , y1 , z1 )
由? = 0, ? = 0,解得 = ( 0 , 2 ,).
因為,? =,| | =,
所以點O到平面ACD的距離等于d =
(Ⅲ)因為= (, ) , (0,,0),
設(shè)平面BEF的一個法向量為FBEF = ( x2 , y2 , z2 )
由可得BEF的一個法向量FBEF =。
容易得到平面BCF的一個法向量FBCF =(0,0,1)
因為FBEF?FBCF = 3 , |FBEF| =, |FBCF| = 1
所以cos=.
所以二面角C―BF―E的大小為arccos=arccos
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分10分)
如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點,. (1)試確定m,使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º;(2)在線段上是否存在一個定點,使得對任意的m,⊥AP,并證明你的結(jié)論.
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