已知為實數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）證明：對于數(shù)列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，當(dāng)時，求證：(6分)

（Ⅰ）;（Ⅱ）詳見解析;（Ⅲ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得當(dāng)時，成等差數(shù)列，當(dāng)時，，可見由得出前項成等差數(shù)列，項以后奇數(shù)項為，偶數(shù)項為，這樣結(jié)合等差數(shù)列的前項公式就可求出;（Ⅱ）以和為界對進(jìn)行分類討論，當(dāng)時，顯然成立;當(dāng)時，由題中所給數(shù)列的遞推關(guān)系，不難得到;當(dāng)時，得，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時的情況，命題即可得證; （Ⅲ）由可得，根據(jù)題中遞推關(guān)系可得出，進(jìn)而可得出=，又，由于要對分奇偶性，故可將相鄰兩整數(shù)當(dāng)作一個整體，要證不等式可進(jìn)行適當(dāng)放縮，要對分奇偶性，并結(jié)合數(shù)列求和的知識分別進(jìn)行證明即可．
試題解析：（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,從而= (3分)
=.       (5分)
（Ⅱ）證明：①若,則題意成立                 (6分)
②若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即.
設(shè),則當(dāng)時,.
從而此時命題成立                    (8分)
③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時命題也成立.
綜上所述,原命題成立                   (10分)
（Ⅲ）當(dāng)時，因為,
所以=       (11分)
因為>0,所以只要證明當(dāng)時不等式成立即可.
而
             (13分)
①當(dāng)時,
  (15分)
②當(dāng)時,由于>0,所以<
綜上所述,原不等式成立                      (16分)
考點：1.數(shù)列的遞推關(guān)系;2.等差，等比數(shù)列的前n項和;3.不等式的證明

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.

 
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
 
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n.

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數(shù)列的首項為（），前項和為，且（）．設(shè)，（）．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）當(dāng)時，若對任意，恒成立，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時，試求三個正數(shù)，，的一組值，使得為等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列．

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等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a32＝9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．

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已知數(shù)列的前項和是，且．求數(shù)列的通項公式；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)已成為當(dāng)代潮流．某大學(xué)大三學(xué)生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金，全部用作批發(fā)某種商品．銀行貸款的年利率為6%，約定一年后一次還清貸款．已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15％，每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%,當(dāng)月房租等其他開支1500元，余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營，如此繼續(xù)，假定每月月底該商品能全部賣出．
（1)設(shè)夏某第n個月月底余元，第n+l個月月底余元，寫出a1的值并建立與的遞推關(guān)系；
（2）預(yù)計年底夏某還清銀行貸款后的純收入．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點，等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列的首項為，且前項和滿足－=+（）.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）求數(shù)列{前項和為，問>的最小正整數(shù)是多少?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足
(1)求的通項公式；
(2)求和 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求實數(shù)的最小值.

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