Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x） （0＜x＜1），求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的最值及其幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=log₂x+

1

ln2

-log₂（1-x）-

1

ln2

=log₂x-log₂（1-x）
由f′（x）＞0得log₂x-log₂（1-x）＞0，即log₂x＞log₂（1-x），即x＞1-x，
解得

1

2

＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得log₂x-log₂（1-x）＜0，即log₂x＜log₂（1-x），即x＜1-x，
解得0＜x＜

1

2

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值同時(shí)也是最小值f（

1

2

）=

1

2

log₂

1

2

+（1-

1

2

）log₂（1-

1

2

）=-

1

2

-

1

2

=-1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．