Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=4-a_n，則滿足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整數(shù)m的值為（　�。�

• A． 33
• B． 32
• C． 31
• D． 30

Answer 1

分析 由S_n=4-a_n，得a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（4-a_n）-（4-a_n-1），從而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}$，進(jìn)而數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，由此得到$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2-n}}$=$\frac{{2}^{n}}{4}$=2017+m，從而能求出滿足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整數(shù)m的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=4-a_n，
∴a₁=S₁=4-a₁，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（4-a_n）-（4-a_n-1），
∴2a_n=a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴a_n=2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^2-n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2-n}}$=$\frac{{2}^{n}}{4}$=2017+m，
當(dāng)n=13時(shí)，$\frac{1}{{a}_{13}}$=$\frac{{2}^{13}}{4}$=2048=2017+31，
∴滿足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整數(shù)m的值為31．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式中的最小正整數(shù)的值的求法，考查數(shù)列的遞推式、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．