Question

10．以下四個命題：
①已知隨機變量X～N（0，σ²），若P（|X|＜2）=a，則P（X＞2）的值為$\frac{1+a}{2}$；
②設a、b∈R，則“l(fā)og₂a＞log₂b”是“2^a-b＞1”的充分不必要條件；
③函數f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$-（$\frac{1}{2}$）^x的零點個數為1；
④命題p：?n∈N，3ⁿ≥n²+1，則￢p為?n∈N，3ⁿ≤n²+1．
其中真命題的序號為②③．

Answer 1

分析 由曲線關于y軸對稱，由概率分布特點，即可判斷①；運用對數函數和指數函數的單調性，結合充分必要條件的定義，即可判斷②；畫出y=${x}^{\frac{1}{2}}$和y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象，即可判斷③；由全稱命題的否定為特稱命題，即可判斷④．

解答 解：①已知隨機變量X～N（0，σ²），若P（|X|＜2）=a，
則P（X＞2）=$\frac{1}{2}$（1-P（|X|＜2））=$\frac{1-a}{2}$，故①錯；
②設a、b∈R，log₂a＞log₂b?a＞b＞0⇒a-b＞0⇒2^a-b＞1，由于a-b＞0，a，b不一定大于0，
則“l(fā)og₂a＞log₂b”是“2^a-b＞1”的充分不必要條件，故②對；
③由y=${x}^{\frac{1}{2}}$和y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象，可得它們只有一個交點，
即函數f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$-（$\frac{1}{2}$）^x的零點個數為1，故③對；
④命題p：?n∈N，3ⁿ≥n²+1，則￢p為?n∈N，3ⁿ＜n²+1．故④錯．
故答案為：②③．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要是正態(tài)分布的特點和充分必要條件的判斷、及函數的零點個數和命題的否定，考查判斷能力和數形結合思想，屬于基礎題．