Question

14．若（x+$\frac{1}{x}$）（3x-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為64．
（Ⅰ）求n的值．
（Ⅱ）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=1，則$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2ⁿ⁺¹=64，解出n即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^5}$，要求展開式的常數(shù)項(xiàng)，只需求${（3x-\frac{1}{x}）^5}$展開式中含$x和\frac{1}{x}$的項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）令x=1，則$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2ⁿ⁺¹=64，
解得：n=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^5}$，
要求展開式的常數(shù)項(xiàng)，只需求${（3x-\frac{1}{x}）^5}$展開式中含$x和\frac{1}{x}$的項(xiàng)．
由通項(xiàng)公式得${T_{r+1}}=C_5^r{（3x）^{5-r}}{（-\frac{1}{x}）^r}=C_5^r{3^{5-r}}{（-1）^r}{x^{5-2r}}$，
令5-2r=±1，得r=2或r=3．
所以該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為$C_5^2{3^3}-C_5^3{3^2}=180$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)展開式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力、推理計(jì)算能力、化歸轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．