Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2+ax，a為正實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證：f（ ）≤0；
（3）若函數(shù)f（x）有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）= ﹣2x+1，

∴f′（1）=0，

∵f（1）=0，

∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=0

（2）證明：f（ ）=﹣lna﹣ +1（a＞0），

令g（x）=﹣lnx﹣ +1（x＞0），則g′（x）= ，

∴0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x＞1時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，

∴x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值，即最大值，

∴g（x）≤g（1）=0，

∴f（ ）≤0

（3）解：由（1）可知，a=2時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=0，

∴若函數(shù)f（x）有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則a=2

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線方程；（2）構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可證明結(jié)論；（3）由（1）可知，a=2時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=0，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．