Question

【題目】已知函數f（x）=（a+1）lnx﹣x2 ， ．
（1）討論函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）與g（x）在（0，+∞）上的單調性正好相反． （Ⅰ）對于 ，不等式 恒成立，求實數t的取值范圍；
（Ⅱ）令h（x）=xg（x）﹣f（x），兩正實數x1、x2滿足h（x1）+h（x2）+6x1x2=6，證明0＜x1+x2≤1．

Answer 1

【答案】
（1）解：（Ⅰ） ．

①當a≤﹣1時，f′（x）≤0，此時f（x）在（0，+∞）上為減函數．

②當a＞﹣1時， ，

令f′（x）＞0，則 ；

令f′（x）＜0，則 ，

∴此時f（x）的單調遞增區(qū)間為 ，單調遞減區(qū)間為 ．

（2）（Ⅰ） ，則 ，

①當a≤0時，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上為增函數，由（Ⅰ）知，可能與f（x）單調性相同；

②當a＞0時， ，

令g′（x）＞0，則 ，此時g（x）為增函數；

令g′（x）＜0，則 ，此時g（x）為減函數；

∴此時g（x）的單調遞增區(qū)間為 ，單調遞減區(qū)間為

若要與y=f（x）在（0，+∞）上的單調性正好相反，則結合（Ⅰ）可知 ，∴a=1．

∴ ．

在（0，+∞）上y=f（x）在（0，1）上單調遞增，（1，+∞）上單調遞減；

y=g（x）在（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增．

∴在 上：對于f（x）：f（x）max=f（1）=﹣1，

又 ，∴f（x）min=f（3）=﹣9+2ln3．

對于g（x）：g（x）min=g（1）=2，

又 ，∴

∴[f（x）﹣g（x）]max=f（x）max﹣g（x）min=﹣3，

當t﹣1＞0即t＞1時，不等式恒成立；

當t﹣1＜0即t＜1時，不等式恒成立需滿足： ，∴ ．

綜上，所求t的范圍為 ．

（Ⅱ）解：易得h（x）=2x2+1﹣2lnx，

由h（x1）+h（x2）+6x1x2=6得 ，

∴ ，

∴ ，

∴

令t=x1x2，設φ（t）=lnt﹣t+2， ，

可知φ（t）在（1，+∞）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

∴φ（t）≤φ（1）=1，∴0＜x1+x2≤1．

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；（2）（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出[f（x）﹣g（x）]max以及其最小值，從而求出t的范圍即可；（Ⅱ）由h（x1）+h（x2）+6x1x2=6得： 令t=x1x2 ， 設φ（t）=lnt﹣t+2，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．