Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-x．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-x-2的圖象在x=1處的切線方程；
（2）證明：|f（x）|＞$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，求出切點坐標，即可求函數(shù)g（x）=f（x）-x-2的圖象在x=1處的切線方程；
（2）設$G（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，證明G（x）_max＜|f（x）|_min．

解答 （1）解：因為g（x）=lnx-2（x+1）（x＞0），
所以$g'（x）=\frac{1-2x}{x}，g'（1）=-1$，
又因為g（1）=-4，所以切點為（1，-4），
故所求的切線方程為：y+4=-（x-1），即y+x+3=0．
（2）證明：因為$f'（x）=\frac{1-x}{x}$，故f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是減少的，
∴f（x）_max=f（1）=ln1-1，|f（x）|_min=1，
設$G（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，則$G'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是減少的，
故$G{（x）_{max}}=G（e）=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}＜1，G{（x）_{max}}＜{|{f（x）}|_{min}}$，
所以$|{f（x）}|＞\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$對任意x∈（0，+∞）恒成立．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，正確求導，確定函數(shù)的單調性是關鍵．