Question

6．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線(xiàn)x-y+2$\sqrt{2}$=0上移動(dòng)，由點(diǎn)P向圓x²+y²=1引切線(xiàn)，則切線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為$\sqrt{3}$；若P的橫坐標(biāo)為$\sqrt{2}$，則過(guò)點(diǎn)P的在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)方程是y=3x或y=-x+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，得到要使切線(xiàn)段長(zhǎng)最小，則圓心O到直線(xiàn)x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離最小，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出O到直線(xiàn)的距離，再由勾股定理求得答案；求出P的坐標(biāo)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直接得到直線(xiàn)方程，當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程的截距式x+y=a，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得a值得答案．

解答 解：如圖，

圓的半徑為定值1，要使切線(xiàn)段長(zhǎng)最小，則圓心O到直線(xiàn)x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離最小，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得O到直線(xiàn)的距離d=$\frac{|2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=2$，
∴切線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$；
P的橫坐標(biāo)為$\sqrt{2}$，則P的縱坐標(biāo)為3$\sqrt{2}$，即點(diǎn)P（$\sqrt{2}，3\sqrt{2}$），
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)方程為y=3x；
當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為x+y=a，則a=4$\sqrt{2}$．
此時(shí)直線(xiàn)方程為y=-x+4$\sqrt{2}$．
∴過(guò)點(diǎn)P的在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)方程是y=3x或y=-x+$4\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{3}$；y=3x或y=-x+4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了直線(xiàn)的截距式方程，是基礎(chǔ)題．