Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（1）證明：平面PBC⊥平面PDC；
（2）若∠PAB=120°，求點(diǎn)B到直線PC的距離．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BA，CD交于M點(diǎn)，連接MP，則BM=2，A是BM的中點(diǎn)，$PA=\frac{1}{2}BM$，可得MP⊥PB．利用側(cè)面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，可得BC⊥MP，MP⊥平面PBC，即可證明；
（2）過(guò)B點(diǎn)引BN⊥PC于N，BN為B到直線PC的距離．

解答 （1）證明：延長(zhǎng)BA，CD交于M點(diǎn)，連接MP，則BM=2，A是BM的中點(diǎn)，
因?yàn)?PA=\frac{1}{2}BM$，
所以MP⊥PB，
又因?yàn)閭?cè)面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，所以BC⊥平面PBM，
可得BC⊥MP，故MP⊥平面PBC，
因?yàn)镸P?平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD．
（2）解：過(guò)B點(diǎn)引BN⊥PC于N，BN為B到直線PC的距離，
因?yàn)椤螾AB=120°，PA=AD=AB=1，BC=2，
所以MP=1，PB=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{7}$，
因?yàn)锽N×PC=BC×PB，
所以BN=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
所以點(diǎn)B到直線PC的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查線面垂直，考查點(diǎn)到直線距離的計(jì)算，屬于中檔題．