Question

已知二次函數(shù)，及函數(shù)。
關(guān)于的不等式的解集為，其中為正常數(shù)。
（1）求的值；
（2）R如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若，且，求證： 。

Answer 1

（1） （2）,
（3）可用數(shù)學(xué)歸納法證明

解析試題分析：（1）解：∵關(guān)于的不等式的解集為，
即不等式的解集為，
∴.              
∴.
∴.
∴.                   
(2)解法1:由(1)得.
∴的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0d/9/1vsnb2.png" style="vertical-align:middle;" />.
∴.           
方程（*）的判別式
.                    
當(dāng)時(shí)， 對(duì)恒成立，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為
             
則時(shí)，；時(shí)，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)k，函數(shù)都有極小值點(diǎn).             
解法2:由(1)得.
∴的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0d/9/1vsnb2.png" style="vertical-align:middle;" />.
∴.             
若函數(shù)存在極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，且至少有一個(gè)零點(diǎn)在上.              
令,
得, (*)
則,(**)             
方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為, .
設(shè),
①若,則