已知橢圓：經(jīng)過如下五個點中的三個點：，，，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設點為橢圓的左頂點，為橢圓上不同于點的兩點，若原點在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.
（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）因為和關(guān)于原點對稱，由橢圓的對稱性可知和在橢圓上。因為在橢圓上則和不在橢圓上。所以在橢圓上。解方程組可得的值。（Ⅱ）需討論哪個角為直角只討論和即可，因為點的位置沒有固定，和的情況相同。如當時，設直線，聯(lián)立方程消去消去得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)，則直線垂直其斜率相乘等于，列式計算可得，則說明原點在的外部，符合條件，否則不符合條件舍掉。在求面積時若采用先求弦再求點到的距離最后求面積的方法計算過于繁瑣，所以求的面積時可用分割法，計算較簡單。
試題解析：解：（Ⅰ）由知，和不在橢圓上，即橢圓經(jīng)過，，.
于是.
所以 橢圓的方程為：.                                 2分
（Ⅱ）①當時，設直線，由得
.設，則，
所以

.
于是，此時，所以 直線.
因為，故線段與軸相交于，即原點在線段的延長線上，即原點在的外部，符合題設.                           6分
所以

.
當時取到最大值.                                        9分
②當時，不妨設.
設直線，由得.
所以 或.
所以，由，可得直線.
由得.
所以.
所以線段與軸相交于.
顯然原點在線段上，即原點在的內(nèi)部，不符合題設.
綜上所述，所求的面積的最大值為.                           12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設點、分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為.
（I）求橢圓的方程;
（II）設直線（直線、不重合）,若、均與橢圓相切，試探究在軸上是否存在定點,使點到、的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于點，.
（Ⅰ）若（點在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點為坐標原點）.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C:,定點M(0,5),直線與軸交于點F,O為原點,若以OM為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點.
（1）求拋物線C的方程;
（2）過點M作直線交拋物線C于A,B兩點,連AF,BF延長交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓兩焦點坐標分別為,，一個頂點為.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為的直線，使直線與橢圓交于不同的兩點，滿足. 若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線與直線相交于A、B 兩點．
（1）求證：；
（2）當的面積等于時,求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2和上下兩個頂點B1，B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′，求證： k·k′為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點是雙曲線右支上一點，是雙曲線的左焦點，且雙曲線的一條漸近線恰是線段的中垂線，則該雙曲線的離心率是(      )
A．B．C．D．

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