Question

已知函數f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）易求f（x）+f（x+4）=

-2x-2，x＜-3 4，-3≤x≤1 2x+2，x＞1

，利用一次函數的單調性可求f（x）+f（x+4）≥8的解集；
（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（

b

a

）?|ab-1|＞|a-b|，作差證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=

-2x-2，x＜-3 4，-3≤x≤1 2x+2，x＞1

，
當x＜-3時，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
當-3≤x≤1時，f（x）=4≥8不成立；
當x＞1時，由2x+2≥8，解得x≥3．
∴不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集為{x|x≤-5，或x≥3}．              
（Ⅱ）證明：∵f（ab）＞|a|f（

b

a

）?|ab-1|＞|a-b|，
又|a|＜1，|b|＜1，
∴|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
∴|ab-1|＞|a-b|．
故所證不等式成立．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對x范圍的分析討論，去掉絕對值符號，利用一次函數的單調性求最值是關鍵，考查運算與推理證明的能力，屬于中檔題．