Question

【題目】設函數.

（1）當時，求函數的單調減區(qū)間；

（2）若有三個不同的零點，求的取值范圍；

（3）設，若無極大值點，有唯一的一個極小值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞減，在上單調遞增； （2）或；

（3）見解析

【解析】

（1）求函數導數，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；

（2）設，則，則或或，討論和0的大小關系，由的單調性及最值，分析時是否有三個根即可；

（3）由題意可知，令，即在內有唯一的一個正根，由求根公式得方程兩個根，因為只能有一個正跟，從而得，所以，由，得，代入，求導利用單調性即可證得.

（1）當時，，

.

當時，；當時，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）設，則，則或或，

.

當時，恒成立，∴在上為增函數，且時，；時，，則的零點有3個，符合題意.

當時，，此時只有一個零點，不合題意.

當時，若，則；若時，，

函數在上單調遞減，在上單調遞增.

又且時，；時，，

所以或或要有三個零點，則

即，所以

綜上所述，或.

（3）

.

因為在無極大值點，有唯一的一個極小值點

即，即在內有唯一的一個正根.

所以，即

又，，

又因為只有唯一的一個正根，所以即.

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

此時無極大值，有唯一一個極小值點，

所以，所以

所以

所以

.

所以在上單調遞減，所以

綜上，.