Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，點(diǎn)E是SC的中點(diǎn)，SA=4，AB=2．
（理）（1）求直線ED與直線SB所成的角；
（2）求點(diǎn)A到平面SBD的距離．
（文）（1）求直線SC與平面SAD所成的角；
（2）求直線ED與直線SB所成的角．

Answer 1

分析：（理）（1）取BC的中點(diǎn)為F，連接EF、DF，可得EF∥SB，即可得到∠FED為所求，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案即可．
（2）設(shè)點(diǎn)A到平面SBD的距離為h，根據(jù)題中的條件可得S_△SBD=6，S_△ABD=2，再根據(jù)V_A-BDS=V_S-ABD，可得點(diǎn)A到平面SBD的距離．
（文）（1）由題意可得：CD⊥AD，又因?yàn)镾A⊥面ABCD，所以AD⊥SA，所以CD⊥平面SAD，所以∠CSD為所求，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案．
（2）取BC的中點(diǎn)為F，連接EF、DF，可得EF∥SB，即可得到∠FED為所求，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案即可．

解答：（理）解：（1）取BC的中點(diǎn)為F，連接EF、DF，
因?yàn)辄c(diǎn)E是SC的中點(diǎn)，
所以EF∥SB，所以“直線ED與直線SB所成的角”與“直線ED與直線EF所成的角”相等或者互補(bǔ)，即∠FED為所求．
因?yàn)镾A⊥面ABCD，SA=4，AB=2，

所以SB=2

5

，所以EF=

5

．
又因?yàn)锳BCD是正方形，并且AB=2，
所以DF=

5

．
因?yàn)樗睦忮FS-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，
所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，所以ED=

SC

2

，
因?yàn)锳BCD是正方形，并且AB=2，SA=4，
所以SC=2

6

，所以ED=

6

．
在△EFD中，由余弦定理可得：cos∠FED=

30

10

，
所以直線ED與直線SB所成的角為arccos

30

10

．
（2）設(shè)點(diǎn)A到平面SBD的距離為h，
因?yàn)镾A⊥面ABCD，SA=4，AB=2，
所以SB=SD=2

5

，
因?yàn)锳BCD是正方形，并且AB=2，
所以BD=2

2

，所以S_△SBD=6，S_△ABD=2，
因?yàn)閂_A-BDS=V_S-ABD，
所以

1

3

×S△SBD×h=

1

3

×S△ABD×|SA|，解得：h=

4

3

，
所以點(diǎn)A到平面SBD的距離為

4

3

．
（文）解：（1）因?yàn)樗睦忮FS-ABCD的底面是正方形，
所以CD⊥AD，
又因?yàn)镾A⊥面ABCD，即AD⊥SA，
因?yàn)锳D∩SA=A，
所以CD⊥平面SAD，
所以∠CSD為所求．
因?yàn)樗睦忮FS-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2．
所以CD=2，SD=2

5

，
所以tan∠CSD=

|SD|

|CD|

=

5

，
所以直線SC與平面SAD所成的角為arctan

5

．
（2）取BC的中點(diǎn)為F，連接EF、DF，
因?yàn)辄c(diǎn)E是SC的中點(diǎn)，
所以EF∥SB，所以“直線ED與直線SB所成的角”與“直線ED與直線EF所成的角”相等或者互補(bǔ)，即∠FED為所求．
因?yàn)镾A⊥面ABCD，SA=4，AB=2，
所以SB=2

5

，所以EF=

5

．

又因?yàn)锳BCD是正方形，并且AB=2，
所以DF=

5

．
因?yàn)樗睦忮FS-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，
所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，所以ED=

SC

2

，
因?yàn)锳BCD是正方形，并且AB=2，SA=4，
所以SC=2

6

，所以ED=

6

．
在△EFD中，由余弦定理可得：cos∠FED=

30

10

，
所以直線ED與直線SB所成的角為arccos

30

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線角與線面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來(lái)，是求角的關(guān)鍵；而求點(diǎn)到平面的距離，一般運(yùn)用等體積法進(jìn)行求解．也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角、空間距離以及判斷空間中的點(diǎn)線面的位置等問(wèn)題．