已知a為常數(shù),函數(shù)f(x)=ln(
1+x2
+x)+ax.
(1)若a≥0,求證:函數(shù)f(x)在其定義域內是增函數(shù);
(2)若a<0,試求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間.
分析:(1)先證明函數(shù)的定義域為R,再利用導數(shù)運算法則計算函數(shù)的導函數(shù)f′(x),最后由已知a≥0證明f′(x)>0即可得證
(2)由(1)可知函數(shù)的導函數(shù),通過解不等式f′(x)<0即可的函數(shù)的單調區(qū)間,但由于此不等式中含參數(shù),故需對參數(shù)a的范圍進行討論
解答:解:(1)證明∵
1+x2
>|x|,∴函數(shù)定義域為R
∵f′(x)=
(
1+x2
+x)′
1+x2
+x
+a=
(
1+x2
)′+1
1+x2
+x
+a=
x
1+x2
+1
1+x2
+x
+a=
1
1+x2
+a
∵a≥0,∴f′(x)>0
∴函數(shù)f(x)在其定義域R內是增函數(shù)
(2)解:∵f′(x)=
1
1+x2
+a  且a<0
∴f′(x)<0?x2
1-a2
a2

①當a≤-1時,f′(x)≤0恒成立且不恒等于零,故函數(shù)的單調減區(qū)間為(-∞,+∞)
②當-1<a<0時,原函數(shù)的單調減區(qū)間為(-∞,
1-a2
a
),(-
1-a2
a
,+∞)
點評:本題考察了導數(shù)的四則運算法則,復合函數(shù)求導方法,證明函數(shù)單調性和求函數(shù)單調區(qū)間的方法
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①②③
①②③
(把你認為真命題的序號都寫上)
0<a<
1
2
;  ②0<x1<1<x2;   ③f(x1)<0;   ④f(x2)<-
1
2

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lim
n→∞
an-x2n
an+x2n
(n∈N*)在(0,+∞)上連續(xù),則常數(shù)b=( 。

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